n和Q求最大公约数拿到q，P直接开立方拿到p，n整除p和q拿到r 或者求解q时可以 # Eq = Euler(Q) = Euler(q**2) 求q-> sqrt(Euler(q**2)) + 1 = q # EQQ = gmpy2.iroot(Eq, 2)[0] # 求平方根 # q = EQQ + 1 Euler对于任意 互质 的整数a和b有性质f(a b) = f(a) ⋅ f(b) / 题面 from Crypto.Util.number import * import gmpy2 from flag import flag p=getPrime(512) q=getPrime(512) r=getPrime(512) n=p*q*r e=65537 m=bytes_to_long(flag) def Euler(x): res=0 for i in range(1,x): if gmpy2.gcd(i,x)==1: res+=1 return res P=p**3 Q=q**2 c=pow(m,e,n) print(P) print(Euler(Q)) print(c) print(n) #P = 1686761823519516525084824311416810253107853832929411677237594989001281261421956188747941222367576127569696216513071075733130132251383529469095077597202999362675041210639065389821237728348981344440193122126487447235175127680730304754656661704596111547454161716607787386914764780833658069534913186485846587027674567133467341836048413431174183101579802349498153899249182793495245916757355079598668221097821452488627067390724198617676379698358212167618567704428433303 #Eq = 54800501457630149544580145188029519076092032026436445384163914536965196942938808746487258773679836358732387355329080483568564046906919385574994390974732491368590525875801103056613954297623835159311237599961507385582029709732950222118171961946571285930711702624160354541459438994349318149872111029043942485620 #c = 568846080701555049788706647255668980211679838950729382006912035332305772256748203239331545262283165739670330060735508231578298253855583985677482008855909565463834639005910652510802915373310537390293061001384655286359323437737989289787972131460392977341024828530868508329336263146882773903176326250063921456707975853839017504122823304303509269793133132036479219404842827556015566627129747816769486873563843578029479179692030808518925753268233301452280242586076493 #n = 1069981867450019752454430625015273180922733107799929958042241890002915414684562764186875387471850290817321430141222917656674447229697676236077201897275059270515637506529666384968535578683380559782336910645306992981172862940944536463561840412558764760962107958365575095435157363812028759723055357681895134974760386884254380189603418912937553755099672511307377054933171384741715642510754214768859689909974996095149155241791151425031489280537907842378844226410097051 $gcd$ 方法 from Crypto.Util.number import * e = 65537 r = 12142261002625479270959358223863571062295429117378994112396394259314721874267081158944354513358164889564741712782226613341612447412750073385958464420872713 c = 568846080701555049788706647255668980211679838950729382006912035332305772256748203239331545262283165739670330060735508231578298253855583985677482008855909565463834639005910652510802915373310537390293061001384655286359323437737989289787972131460392977341024828530868508329336263146882773903176326250063921456707975853839017504122823304303509269793133132036479219404842827556015566627129747816769486873563843578029479179692030808518925753268233301452280242586076493 n = 1069981867450019752454430625015273180922733107799929958042241890002915414684562764186875387471850290817321430141222917656674447229697676236077201897275059270515637506529666384968535578683380559782336910645306992981172862940944536463561840412558764760962107958365575095435157363812028759723055357681895134974760386884254380189603418912937553755099672511307377054933171384741715642510754214768859689909974996095149155241791151425031489280537907842378844226410097051 # p = gmpy2.iroot(P, 3)[0] # 开3次方根 p = 11903771663059518341912645066042582267678745214691121272332269847512624178064427789028954264701292914161793272471217879550653909080475237446747964043276487 # q = gmpy2.gcd(n,Eq) q = 7402736079155473279000574596031490410671021795687853893698348179857428763438305848933328416647633118223876785823588566614584124350907811192587130096357221 phi = (q - 1) * (p - 1) * (r - 1) # phi = (q - 1) * (p - 1) # n = q * p d = pow(e, -1, phi) # 求逆元 d = e**-1 mod phi m = pow(c, d, n) print(long_to_bytes(m)) 拿到q p r (n的三个因子) 后也可以只用q p (不用r) 构造出新的phi, d和n来解密(数学底力不足，有的题不能这样操作，原因暂时未知，挖坑先) from Crypto.Util.number import * q = 7402736079155473279000574596031490410671021795687853893698348179857428763438305848933328416647633118223876785823588566614584124350907811192587130096357221 p = 11903771663059518341912645066042582267678745214691121272332269847512624178064427789028954264701292914161793272471217879550653909080475237446747964043276487 e = 65537 r = 12142261002625479270959358223863571062295429117378994112396394259314721874267081158944354513358164889564741712782226613341612447412750073385958464420872713 c = 568846080701555049788706647255668980211679838950729382006912035332305772256748203239331545262283165739670330060735508231578298253855583985677482008855909565463834639005910652510802915373310537390293061001384655286359323437737989289787972131460392977341024828530868508329336263146882773903176326250063921456707975853839017504122823304303509269793133132036479219404842827556015566627129747816769486873563843578029479179692030808518925753268233301452280242586076493 n = 1069981867450019752454430625015273180922733107799929958042241890002915414684562764186875387471850290817321430141222917656674447229697676236077201897275059270515637506529666384968535578683380559782336910645306992981172862940944536463561840412558764760962107958365575095435157363812028759723055357681895134974760386884254380189603418912937553755099672511307377054933171384741715642510754214768859689909974996095149155241791151425031489280537907842378844226410097051 # phi = (q - 1) * (p - 1) * (r - 1) phi = (q - 1) * (p - 1) n = q * p d = pow(e, -1, phi) m = pow(c, d, n) print(long_to_bytes(m)) $sqrt(Eq)$ #by sangge’s code from Crypto.Util.number import * import gmpy2 import binascii import hashlib def Euler(x): res = 0 for i in range(1, x): if gmpy2.gcd(i, x) == 1: res += 1 return res # 16进制转字符串 def hex_to_str1(s): s = binascii.unhexlify(s) # ASCII 码转换函数 # unhexlify()传入的参数也可以是b'xxxx'(xxxx要符合16进制特征) return s.decode('utf-8') # s的类型是bytes类型，用encode()方法转化为str类型(去除b'') P = 1686761823519516525084824311416810253107853832929411677237594989001281261421956188747941222367576127569696216513071075733130132251383529469095077597202999362675041210639065389821237728348981344440193122126487447235175127680730304754656661704596111547454161716607787386914764780833658069534913186485846587027674567133467341836048413431174183101579802349498153899249182793495245916757355079598668221097821452488627067390724198617676379698358212167618567704428433303 EQ = 54800501457630149544580145188029519076092032026436445384163914536965196942938808746487258773679836358732387355329080483568564046906919385574994390974732491368590525875801103056613954297623835159311237599961507385582029709732950222118171961946571285930711702624160354541459438994349318149872111029043942485620 c = 568846080701555049788706647255668980211679838950729382006912035332305772256748203239331545262283165739670330060735508231578298253855583985677482008855909565463834639005910652510802915373310537390293061001384655286359323437737989289787972131460392977341024828530868508329336263146882773903176326250063921456707975853839017504122823304303509269793133132036479219404842827556015566627129747816769486873563843578029479179692030808518925753268233301452280242586076493 n = 1069981867450019752454430625015273180922733107799929958042241890002915414684562764186875387471850290817321430141222917656674447229697676236077201897275059270515637506529666384968535578683380559782336910645306992981172862940944536463561840412558764760962107958365575095435157363812028759723055357681895134974760386884254380189603418912937553755099672511307377054933171384741715642510754214768859689909974996095149155241791151425031489280537907842378844226410097051 e = 65537 p = gmpy2.iroot(P, 3)[0] # Euler对于任意 互质 的整数a和b有性质f ( a b ) = f ( a ) ⋅ f ( b ) Eq = gmpy2.iroot(EQ, 2)[0] # 求平方根 q = Eq + 1 r = n//p//q # 求整数除法 phi_n = (p - 1) * (q - 1) * (r - 1) # 求欧拉函数 d = gmpy2.invert(e, phi_n) # 求逆元 m = pow(c, d, n) # 求模幂 # print(m) flag = hex_to_str1(hex(m)[2:]) # 不会附带 b'' 与下方转换类似(# 转化为16进制 后去掉前面的0x 后转化为str类型) # flag = long_to_bytes(m) # 会附带 b'' 可以像上面一样再转一次str print(flag[5:-1]) # 去掉前后的flag{} ,下面继续进行题意要求的md5加密 hash = hashlib.md5() # md5加密 hash.update(flag[5:-1].encode('utf-8')) # encode()方法将str类型转化为bytes类型 print("flag{" + hash.hexdigest() + "}") # hexdigest()方法将bytes类型转化为str类型 ![q的推导.png]]

基本原理 ¶ 公钥与私钥的产生 ¶ 随机选择两个不同大质数 $p$ 和 $q$，计算 $N=p×q$ 根据欧拉函数，求得 $φ(N)=φ(p)φ(q)=(p−1)(q−1)$ 选择一个小于 $φ(N)$ 的整数 $e$，使 $e$ 和 $φ(N)$ 互质。并求得 $e$ 关于 $φ(N)$ 的模反元素，命名为 $d$，有 $ed≡1(modφ(N))$ 将 $p$​ 和 $q$​ 的记录销毁 此时，$(N,e)$ 是公钥，$(N,d)$ 是私钥。

[公式] / 韦达定理 [公式] / 用法 1 [公式] / 2 [公式] / [公式] / [公式] / [公式]